そらのおとしもの3話の宿題<数学>の略解

そらのおとしもの3話を視聴していたところ,宿題〈数学〉に微分方程式が混じっていた。
空美町では公立の中学生がこのレベルの問題を解いてしまうらしい。何という進学校,恐るべし空美中。

問題文が辛うじて判読できる3枚について,忘れかけのTEXの復習も兼ねてそれぞれ解いてみる。

常微分方程式


\begin{align}
 \frac{1}{x^2}\frac{d}{dx}\left(x^2\frac{dy}{dx}\right)=-y^n
\end{align}について,以下の問に答えよ.
ただし, y(0)=1\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=0とする.

(i) n=0の場合の解を求めよ.

n=0のとき,
\begin{align}
&\frac{1}{x^2}\frac{d}{dx}\left(x^2\frac{dy}{dx}\right)=-1\\
\therefore~&\frac{1}{x^2}\left(2x\frac{dy}{dx}+x^2\frac{d^2y}{dx^2}\right)=-1\\
\therefore~&\frac{2}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{d^2y}{dx^2}=-1\\
\therefore~&xy''+2y'=-x
\end{align}
初期条件がうまく使えそうなのでラプラス変換をしてみる.
上式の両辺をラプラス変換して,
\begin{align}
-\frac{d}{ds}\left(s^2Y-sy(0)-y'(0)\right)+2\left(sY-y(0)\right)=-\frac{1}{s^2}
\end{align}
初期条件 y(0)=1 y'(0)=0を代入して整理すると,
\begin{align}
s^2\frac{dY}{ds}=\frac{1}{s^2}-1
\end{align}
変数分離して,
\begin{align}
dY&=\left(\frac{1}{s^4}-\frac{1}{s^2}\right)ds\\
\therefore~Y&=-\frac{1}{3}\frac{1}{s^3}+\frac{1}{s}+C
\end{align}
ただしC積分定数.上式両辺を逆ラプラス変換して,
\begin{align}
y=-\frac{1}{6}x^2+1+C\delta(x)
\end{align}
ただし\delta(x)は衝撃函数.初期条件 y(0)=1よりC=0で,結局
\begin{align}
y=-\frac{1}{6}x^2+1
\end{align}
が答になる.(WolframAlphaで確認済)
衝撃函数の扱いのあたり厳密かどうかは自信がない。何かしら理学徒に怒られそう。すみません


【別解】
 \displaystyle x^2\frac{dy}{dx} =pとおくと簡単だった. n=0のとき,
\begin{align}
&\frac{dp}{dx}=-x^2 \\
\therefore ~ & p=-\frac{1}{3}x^3+C_1 \\
\end{align}
ただしC_1積分定数.ここで \displaystyle p(0)= \left. x^2\frac{dy}{dx} \right| _{x=0} = 0より,C_1=0
よって,
\begin{align}
&p=-\frac{1}{3}x^3 \\
\therefore ~ & \frac{dy}{dx}=\frac{p}{x^2}=-\frac{x}{3} \\
\therefore ~ & y=-\frac{1}{6}x^2+C_2
\end{align}
ただしC_2積分定数.ここで y(0)=1より,C_2=1
よって,求める解は
\begin{align}
y=-\frac{1}{6}x^2+1
\end{align}

(ii)y=\displaystyle\frac{z}{x}とおいて,zに対する微分方程式を導き,n=1の場合の解を求めよ.

y=\displaystyle\frac{z}{x}を与式に代入すると,
\begin{align}
& \frac{1}{x^2}\frac{d}{dx}\left(x^2\frac{d}{dx}\left(\frac{z}{x}\right)\right)=-\left(\frac{z}{x}\right)^n\\
\therefore ~ &\frac{1}{x^2}\frac{d}{dx}\left\{x^2\left(\frac{dz}{dx}\frac{1}{x}-\frac{z}{x^2}\right)\right\}=-\left(\frac{z}{x}\right)^n\\
\therefore ~ &\frac{1}{x^2}\frac{d}{dx}\left(\frac{dz}{dx}x-z\right)=-\left(\frac{z}{x}\right)^n\\
\therefore ~ &\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2z}{dx^2}x+\frac{dz}{dx}-\frac{dz}{dx}\right)=-\left(\frac{z}{x}\right)^n\\
\therefore ~ &\frac{1}{x}\frac{d^2z}{dx^2}=-\left(\frac{z}{x}\right)^n\\
\end{align}
を得る.ここにn=1を代入すると,
\begin{align}
\frac{d^2z}{dx^2}=-z
\end{align}
特性方程式~\rho^2=-1より,\rho=\pm iとなるので,一般解は
\begin{align}
z=C_1 \cos x+C_2 \sin x
\end{align}
とおける.ただしC_1C_2は任意定数.
ここで,
\begin{align}
z(0)&=\left.xy\right|_{x=0}=0\\
z'(0)&=\left.\frac{d(xy)}{dx}\right|_{x=0}=y(0)+0=1
\end{align}
であるから,
\begin{align}
z(0)&=C_1=0\\
z'(0)&=C_2=1
\end{align}
よって,求める解は
\begin{align}
y=\frac{z}{x}=\frac{\sin x}{x}
\end{align}

複素数平面

ちょっと問題文(i)が見切れてしまっているので,(ii)だけ解いてる.何を利用するのかよく判らなくなってしまうが….
\displaystyle\cos \frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}の示し方はcos36°(=cosπ/5)の3通りの求め方 - Den of Hardworkingにわかりやすく載っており,代数的にも幾何的にも色んな示し方があるようだ.ここでは上記リンクの(3)の解き方をなぞってみる.
z
\begin{align}
z=e^{i\frac{\pi}{5}}=\cos \frac{\pi}{5}+i\sin \frac{\pi}{5}
\end{align}
とおくと,
\begin{align}
z^5=e^{i\pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1
\end{align}
が成り立つ.*1
-1を移項して因数分解すると,
\begin{align}
(z+1)(z^4-z^3+z^2-z+1)=0
\end{align}
z\neq-1より,(z^4-z^3+z^2-z+1)=0を得る.これを変形して,
\begin{align}
&z^2-z+1-\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0\\
\therefore~&\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-\left(z+\frac{1}{z}\right)-1=0
\end{align}
一方,\displaystyle z+\frac{1}{z}=e^{i\frac{\pi}{5}}+e^{-i\frac{\pi}{5}}=2\cos\frac{\pi}{5}=t>0)とおくと,上式は
\begin{align}
&t^2-t-1=0\\
\therefore~ &t=2\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}~~~~~(\because t>0)\\
\therefore~ &\cos \frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}
\end{align}
この問題は高校範囲の知識で解けたが,そらおと1期の放送年は2009年なので,この当時はまだ旧課程であり,複素数平面は高校数学の範囲外のはずである.

線形代数

行列Aを次のように定める.
\begin{align}
A = \left(
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2\\
2 & 2 & -1
\end{array}
\right)
\end{align}

(i) A固有値固有ベクトルを求めよ.

固有多項式\phi (t)は,単位行列Eとして,
\begin{align}
\phi (t) & =|tE-A|\\
& = \left|
\begin{array}{ccc}
t-1 & 0 & -2 \\
0 & t-1 & -2\\
-2 & -2 & t+1
\end{array}
\right| \\
& = \left|
\begin{array}{ccc}
t-1 & 0 & -2 \\
0 & t-1 & -4\\
0 & -2 & t+1
\end{array}
\right| \\
&= (t-1)\{(t^2-1)-8\}\\
&=(t-1)(t-3)(t+3)\\
\end{align}
固有方程式 \phi (t)=0を解いて, t=-313
よってA固有値-313

 -3に属する固有ベクトル \vec{p_1}を求めると,

\begin{align}
A \vec{p_1}&=2 \vec{p_1}\\
\therefore ~ (A-2E)\vec{p_1}&=\vec{0}
\end{align}
掃き出し法より,
\begin{align}
\left(
\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 2 \\
0 & 4 & 2\\
2 & 2 & 2
\end{array}
\right)
\longrightarrow
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
0 & 4 & 2\\
0 & -4 & -2
\end{array}
\right)
\longrightarrow
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1/2 \\
0 & 1 & 1/2\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\end{align}
よって, \displaystyle \vec{p_1}=\alpha \left( \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) .(ただし \alpha \neq 0.)

同様にして,1に属する固有ベクトル \vec{p_2}を求めると,
\begin{align}
A \vec{p_2}&= \vec{p_2}\\
\therefore ~ (A-E)\vec{p_2}&=\vec{0}
\end{align}
掃き出し法より,
\begin{align}
\left(
\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 2\\
2 & 2 & -2
\end{array}
\right)
\longrightarrow
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\longrightarrow
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\end{align}
よって, \displaystyle \vec{p_2}=\beta \left( \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) .(ただし \beta \neq 0.)

更に同様に3に属する固有ベクトル \vec{p_3}を求めてもいいが,実対称行列の異なる固有値に属する固有ベクトルが直交することを用いて,外積を使って求めた方がちょっと楽だ.

\begin{align}
\left( \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
よって, \displaystyle \vec{p_3}=\gamma \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) .(ただし \gamma \neq 0.)

(ii) 行列に関する方程式 ~ A^3+aA^2+bA+cE=\vec{0} ~の係数 a b cを求めよ.

固有多項式\phi (t)は(i)で計算済で,
\begin{align}
\phi (t) &= (t-1)\{(t^2-1)-8\} \\
&= t^3-t^2-9t+9
\end{align}
よってケーリー・ハミルトンの定理より,  A^3-A^2-9A+9E=\vec{0}が成り立つ.
 \therefore ~ a=-1 b=-9 c=9

(ii)の続きは与式の次数が潰れていてよく読めないが,上式を  A^3=A^2+9A-9Eと変形して与式に代入していくことで次数下げをしていく問題だろう.

以上,空美中の宿題<数学>でした。
ちなみに授業の板書でも東○大学の入試問題がちらほら見えて怖い。

*1: zn乗すると,原点からの距離|z|n乗になり,偏角\arg(z)n倍になる.すなわち\left|z^n\right|=|z|^n\arg\left(z^n\right)=n \arg\left(z\right)となる.